矩阵是什么
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矩阵的本质和意义是什么?以下是来自Meet Math发表的文章《「图解线性代数」-以动画方式轻松理解线性代数的本质与几何意义》的节选。线性变换是线性空间中的运动,矩阵是描述该变换的映射,也就是说,矩阵是映射!这还是不够直观,让我们看看图形动画。矩阵不仅仅是一个数值表:它实际上显示了在矩阵的作用下线性空间是如何变化的。观察下面二维平面的水平方向和垂直方向的扩展过程:从上面的动画可以看出,垂直方向没有变化(A的第二列没有变化);它在水平方向上延伸2倍;浅红色方块的面积在变换后翻倍,这就是行列式的意思——Det(A)=2的展开式。在我们看到更多的矩阵变换之前,停下来看看下面的静态图来进一步解释:在变换之前,矩阵的基向量i(1,0)已经移动到(2,0)的位置。而j基向量(0,1)或(0,1)不会改变任何东西——也就是说,基的变化一旦你理解了基的变化,那么整个线性变换就很清楚了——因为任何东西都可以用基向量的变化来线性表示。观察红的位置矢量(1.5)和绿色(1、3)转换:向量的位置(1.5)基向量的变换实际上是一个线性表示转换后,你也可以看到矩阵乘法计算:同样,转换后的位置(1,3),同样的计算方法:你可以观察上面的动画再次体验和验证结果。这里,矩阵A的对角线包含一个0。观察下面的动画:可以看到水平方向变成0次;垂直方向拉伸两次;面积的变化率是0,也就是det (A)=0;基底的变化如下:看下面矩阵A的变换:整个空间向左倾斜;面积扩大到原Det(A)=3.5倍;上面,当你有三个不同的矩阵时,整个空间的变换是不同的,但原点没有改变,直线仍然是直的,平行的直线仍然是平行的,这就是线性变换的本质。类似地,在三维线性空间中,矩阵被用于这样的线性变换,这里需要注意的是行列式可以被看作是变换后的体积变化。如下图所示。在下面的矩阵A的变换中,空间将进行镜像翻转变换(变平为直线),因此行列式的值为负。
矩阵,虽然听起来很崇高,但它只是排列在一个正方形上的数据集合,称为矩阵。
我相信你们很多人在大学学习线性代数的时候都学过矩阵。
本书是通过求解线性方程的过程,一步步引出矩阵的概念,把一组线性方程的系数整齐地排练起来,就是一个矩阵,通过一系列的运算,就可以很容易地找到线性方程的解。
从那时起,科学家们将矩阵的概念扩展到各个学科,包括电路、力学、光学和量子物理以及计算机科学。
总之,矩阵运算是数值分析领域的一个重要问题。
说白了,矩阵是一种数学工具,是为理解线性方程而开发的一种数学计算形式。
和微积分一样,它也是一种数学工具。
微积分有积分和微分运算,而矩阵有加、减、乘、转置、共轭、共轭转置等。
利用矩阵的性质,人们可以依靠这种简单的数学形式来解决许多复杂的问题。
所以,矩阵的本质就是一组排列在正方形中的数字。
然后数学家定义加、减、乘等等的规则。
然后利用矩阵的性质,把它们应用到不同的学科中。
它的意义在于帮助科学家更好地计算,更好地分析问题,解决问题。
它只是一个数学工具。
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