数学家们曾经浪费了大量的时间，以至于在1930年，著名的苏联数学家卢金猜测，不可能把一个正方形分成有限个不同大小的正方形。

Mollen挑战了这个猜想，并提出了一个解决方案：如果同一个矩形有两个不同的正方形分区，其中一个分区中的每个正方形与另一个分区中的每个正方形不同，那么两个正方形加在两个分区上(它们与两个分区中的任何一个都不同)就是一个完全正方形。在此之前，完美矩形已经有了相对丰富的结果。

1939年，斯普拉格根据莫伦的想法，成功地构造了一个55阶的完全正方形，其边长为4205。

几个月后，剑桥大学三一学院的四名本科生创造出了台阶更小(28级)、边长更短(1015级)的完美正方形。

1948年，威尔科克斯构造了一个24阶的完全正方形，但它包含一个完全矩形(这种正方形被称为混合完全正方形)。一个完全由正方形构成的正方形称为纯完全正方形。这个记录直到1978年才被打破。

1967年，威尔逊构造了25阶和26阶的完全平方。

1962年，荷兰特温特工业大学的Duivistin证明：

20阶以下没有完全平方数。

1978年，Duivistin在计算机技术的帮助下，成功地构造了一个21阶的完全平方。它是唯一的，它的阶数最低，它的数字也更简单。此外，它在构造上有许多漂亮的特点，比如在对角线上有一些2的幂等。

Duivistin还证明了21阶以下没有完全平方数。

1982年，Duivistin证明了在24阶以下不存在混合完全平方。

1992年，Bukam和Duivistin给出了所有207个21到25阶的纯完全平方数：

21、22、23、24、25号订单

1 8 12 26 160号

关于完全平方的讨论到此结束。但是数学家们并没有停止他们的工作。他们还研究了不同大小的正方形能否填满整个平面。此外，他们将完全分割问题推广到莫比乌斯带、圆柱体、环面和克莱因瓶，并得出了许多有趣的结果。

但结果是没有立方体填充。

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